निश्चित समाकलन int_{0}^{1} frac{x}{x^{2}+1} d | vedclass

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Question

(A) समाकलन $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} d x$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे।माना $x^{2}+1 = t$ है। तब,$x$ के सापेक्ष

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$\frac{1}{2} \log 2$

Vedclass · Answer

(A) समाकलन $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} d x$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे।माना $x^{2}+1 = t$ है। तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$.अब,समाकलन की सीमाओं को बदलें:जब $x = 0$,तब $t = 0^{2} + 1 = 1$.जब $x = 1$,तब $t = 1^{2} + 1 = 2$.इन मानों को समाकलन में रखने पर:$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} d x = \int_{1}^{2} \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{t} dt$.$\frac{1}{t}$ का समाकलन $\log |t|$ होता है।$= \frac{1}{2} [\log |t|]_{1}^{2}$.$= \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1)$.चूंकि $\log 1 = 0$,हमें प्राप्त होता है:$= \frac{1}{2} \log 2$.

निश्चित समाकलन $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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